Contenu du cours de géométrie avancée
- Variétés topologiques et différentiables. Définition et exemples de
variétés topologiques et différentiables. Unicité de structures
différentiables. Variétés différentiables à bord. Applications lisses.
Espace tangent. Différentielle d’une application. Submersions,
immersions, plongements.
Singularités d’une application lisse. Théorème du rang constant.
Points critiques, valeurs critiques, valeurs régulières. Sous-ensembles
négligeables d’une variété. Théorème de Sard. Partitions de l’unité.
Approximation des fonctions lisses par des immersions. Théorème
d’immersion et de plongement de Whitney (version facile). Transversalité.
Fibrés vectoriels. Rappels d’algèbre multilinéaire sur R :
applications multilinéaires, produit tensoriel, produit extérieur.
Fibré vectoriel. Fibré tangent. Morphismes de fibrés
vectoriels. Opérations sur les fibrés vectoriels. Trivialité des fibrés
vectoriels sur une base contractile.
Champs de vecteurs. Champs de tenseurs. Équations différentielles
autonomes sur une variété. Dérivée de Lie d’un champ de tenseurs. Crochet
de Lie de deux champs de vecteurs. Champs de vecteurs commutants.
Intégration sur les variétés. Formes différentielles. Orientations et
formes volumes. Revêtement d'orientation. Intégration de formes
différentielles sur les variétés orientées. Différentielle extérieure.
Théorème de Stokes.
Cohomologie et applications. Cohomologie de de Rham. Invariance par
homotopie de la cohomologie de de Rham. Lemme de Poincaré. Théorème de
Mayer-Vietoris. Cohomologie des sphères. Théorème de l’invariance de la
dimension. Théorème du point fixe de Brouwer.