Surfaces de Riemann

This course is an introduction to Riemann surfaces. Starting with examples like the Riemann sphere and the complex tori, we set up the basics of theory (ramification, divisors, differential forms, genus...) in order to tackle the important theorems (Riemann-Hurwitz, Riemann-Roch...). We end up with an opening to important concepts for number theory: modular curves and monodromy theory.

Introduction to Algebraic Geometry

Stochastic Processes 2024-2025

This course is a natural sequel to:
- Modern Probability Theory, based on Lebesgue integration theory (tought here in ENS Lyon in L3S1)
- Markov chains and martingales in discrete time (tought here in ENS Lyon in M1S1).

The purpose is to explore some continuous-time stochastic processes, without aiming to go into stochastic calculus or the general theory of Markov processes.

Chapter I:
We start with the example of the Poisson process, then we discuss quickly the technical settings of conditional distribution and the Markovian formalism, in particular the strong Markov property of the Feller processes.

Chapter II:
We introduce and study the continuous-time Markov chains. We discuss the relation between the Markov transition semigroup and the matrix of intensities, including the Kolmogorov forward and backward equations, and the possibility of explosion in finite time. We also discuss invariant measures and the long-term behavior.

Chapter III:
We introduce Brownian motion and discuss some of its properties.

Chapter IV:
We discuss quickly the martingales in continuous time and the stopping theorems.

Chapter V:
We discuss more subtle properties of Brownian motion and its relations to random walks, including Donsker invariance principle or Skorokhod embedding theorem.

Théorie des Nombres

MATH4201 Partial differential equations

I. Presentation of PDEs and the variational method
II. Sobolev spaces
III. Elliptic PDEs
IV. Parabolic PDEs
V. Semi-groups

Topologie algébrique

Contenu du cours

Homotopie, classes d'homotopie, type d'homotopie. CW-complexes, complexes simpliciaux. Homologie cellulaire, homologie simpliciale.

Homologie singulière. Cohomologie singulière, cup-product, formule de Künneth. Coefficients universels.

Comparaison entre homotopie et homologie, théorèmes d'Hurewicz et Whitehead. Espaces d'Eilenberg-Mac Lane.

Dualité de Poincaré, dualité d'Alexander-Lefschetz.

Fibrés vectoriels, fibrés principaux. Espaces classifiants, classes caractéristiques.

Théorie spectrale

Théorème spectral et calcul fonctionnel pour les opérateurs auto-adjoints bornés, compacts, non-bornés. Théorie spectrale pour les algèbres de Banach, dualité de Gelfand, algèbres d'opérateurs.

Riemannian geometry

Advanced algebra

MATH4103 Advanced geometry

Contenu du cours de géométrie avancée


    Variétés topologiques et différentiables. Définition et exemples de
    variétés topologiques et différentiables. Unicité de structures
    différentiables. Variétés différentiables à bord. Applications lisses.
    Espace tangent. Différentielle d’une application. Submersions,
    immersions, plongements.

    Singularités d’une application lisse. Théorème du rang constant.
    Points critiques, valeurs critiques, valeurs régulières. Sous-ensembles
    négligeables d’une variété. Théorème de Sard. Partitions de l’unité.
    Approximation des fonctions lisses par des immersions. Théorème
    d’immersion et de plongement de Whitney (version facile). Transversalité.

    Fibrés vectoriels. Rappels d’algèbre multilinéaire sur R :
    applications multilinéaires, produit tensoriel, produit extérieur.
    Fibré vectoriel. Fibré tangent. Morphismes de fibrés
    vectoriels. Opérations sur les fibrés vectoriels. Trivialité des fibrés
    vectoriels sur une base contractile.

    Champs de vecteurs. Champs de tenseurs. Équations différentielles
    autonomes sur une variété. Dérivée de Lie d’un champ de tenseurs. Crochet
    de Lie de deux champs de vecteurs. Champs de vecteurs commutants.

    Intégration sur les variétés. Formes différentielles. Orientations et
    formes volumes. Revêtement d'orientation. Intégration de formes
    différentielles sur les variétés orientées. Différentielle extérieure.
    Théorème de Stokes.

    Cohomologie et applications. Cohomologie de de Rham. Invariance par
    homotopie de la cohomologie de de Rham. Lemme de Poincaré. Théorème de
    Mayer-Vietoris. Cohomologie des sphères. Théorème de l’invariance de la
    dimension. Théorème du point fixe de Brouwer.

MATH4102 Advanced Analysis

Cours Probabilités avancées