Ce
cours commence par compléter la théorie de l'intégration développée au
premier semestre avec la théorie de la transformation de Fourier.
Ensuite, ce cours utilise l'intégration au sens de Lebesgue pour introduire le formalisme moderne de la théorie des probabilités. Il commence donc l'étude variables aléatoires et des suites de variables aléatoires. Il étudie en particulier les différentes notions de convergence associées, prouve la loi des grands nombres et le théorème central limite, et propose l'étude de certains modèles aléatoires classiques comme le processus de Galton-Watson.
La théorie des revêtements a son origine en Analyse complexe, notamment les fonctions multivoques et le prolongement analytique. Mais pour l'essentiel c'est une théorie purement topologique, qui étudie des homéomorphismes locaux ayant une structure locale de projection U x D -> U où U est un espace discret. Exemple emblématique : l'application z ı-> exp(2πiz) de IR sur S^1.
La description de ces objets (dans les cas les plus importants en pratique) fait intervenir un groupe associé à tout espace topologique (connexe par arcs), le groupe fondamental. Une application importante est de donner un point de vue géométrique sur la théorie des groupes (discrets, infinis).
Introduction à la topologie et au calcul différentiel
Bases de la théorie de la mesure
Intégrale de Lebesgue par rapport à une mesure positive
Construction de mesures
Espaces L^p et espaces de Hilbert
Mesures produit
Formule de changement de variables
